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Ursprünglich war mit Zeta-Funktion oder ζ ζ {\displaystyle \zeta } -Funktion in der Mathematik die holomorphecite-ref-1[1] komplexe Funktion

ζ ζ ( z ) = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ 1 n z {\displaystyle \zeta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}\quad } , mit z ∈ ∈ C , ℜ ℜ ( z ) > 1 {\displaystyle z\in \mathbb {C} ,\,\Re (z)>1}

gemeint. Heute heißt diese genauer riemannsche Zeta-Funktion, zu Ehren von Bernhard Riemann, der um 1850 bedeutende Arbeiten zur Untersuchung dieser Funktion im Komplexen leistete. Als reelle Funktion geht das Studium der Zeta-Funktion auf Leonhard Euler in den 1730er und 1740er Jahren zurück, der unter anderem die Werte der Zeta-Funktion bei positiven geradzahligen Argumenten bestimmte und die Produktformel fand.

Einige Werte sindcite-ref-2[2]

ζ ζ ( 1 ) = ∞ ∞ {\displaystyle \zeta (1)=\infty }

ζ ζ ( 2 ) = π π 2 6 {\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}

ζ ζ ( 3 ) = 1,202 0569032... {\displaystyle \zeta (3)=1{,}2020569032...}

ζ ζ ( 4 ) = π π 4 90 {\displaystyle \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}}

ζ ζ ( 5 ) = 1,036 9277551... {\displaystyle \zeta (5)=1{,}0369277551...}

ζ ζ ( 6 ) = π π 6 945 {\displaystyle \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}}

ζ ζ ( 7 ) = 1,008 3492774... {\displaystyle \zeta (7)=1{,}0083492774...}

ζ ζ ( 8 ) = π π 8 9450 {\displaystyle \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450}}}

ζ ζ ( 9 ) = 1,002 0083928... {\displaystyle \zeta (9)=1{,}0020083928...}

Seither wurden viele in Definition oder Eigenschaften ähnliche oder verallgemeinernde Funktionen untersucht, denen dann auch der Name Zeta-Funktion zusammen mit dem ihres Entdeckers gegeben wurde.

Die wichtigsten weiteren Zetafunktionen sind:

• Airysche Zeta-Funktion

• Artin-Mazursche Zeta-Funktion

• Dedekindsche Zeta-Funktion

• Epsteinsche Zeta-Funktion

• Hasse-Weil-Zetafunktion

• Hurwitzsche Zeta-Funktion

• Igusa-Zetafuntkion

• Ihara-Zetafunktion

• Jacobische Zetafunktion

• Lefschetzsche Zeta-Funktion

• Lerchsche Zeta-Funktion

• Ninitsche Zeta-Funktion

• Ruelle-Zetafunktion oder Dynamische Zetafunktion

• Selbergsche Zeta-Funktion

• Weierstraßsche Zeta-Funktion

• Primzetafunktion

Ebenfalls mit der riemannschen Zeta-Funktion verwandt, ohne das „Zeta“ im Namen zu tragen, sind die dirichletschen L-Funktionen, die dirichletsche Eta-Funktion η η {\displaystyle \eta } und die dirichletsche Beta-Funktion β β {\displaystyle \beta } .

• Literatur

• Weblinks

• Einzelnachweise

• Pierre Cartier: An introduction to Zeta Functions, in M. Waldschmidt u. a. (Hrsg.), From Number Theory to Physics, Springer 1992, S. 1–63

• Anton Deitmar: A panorama of Zeta functions, in E. Kähler, Mathematical Works, De Gruyter 2003, Arxiv

• Mircea Mustaţă: Zeta functions in algebraic geometry, Vorlesung 2011 (PDF)

• Bernhard Schiekel: Zetafunktionen in der Physik – eine Einführung doi:10.18725/OPARU-4418.

• Alan David Thomas: Zeta-Functions: an introduction to algebraic geometry, Pitman 1977

• A Dictionary of All Known Zeta Functions

cite-note-11. ↑ Brockhaus Enzyklopädie in 24 Bänden, 19. Aufl., Bd. 18, S. 407, Mannheim 1992.

cite-note-22. ↑ CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, ed. Eric W. Weinstein. Chapman&Hall: Boca Raton [u. a.]. 2nd ed. 2003, S. 2564.